Hledej

Matematika

Matika

Ilustrace šíře matematických disciplín
Ilustrace šíře matematických disciplín

Matematika (z řeckého μαθηματικός (mathematikós) = milující poznání; μάθημα (máthema) = věda, vědění, poznání) je věda zabývající se z formálního hlediska kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Matematika je též popisována jako disciplína, jež se zabývá vytvářením abstraktních entit a vyhledáváním zákonitých vztahů mezi nimi.

Charakteristickou vlastností matematiky je její důraz na absolutní přesnost metod a nezpochybnitelnost výsledků. Tyto vlastnosti, které matematiku odlišují od všech ostatních vědních disciplín, mají původ již v antickém Řecku. Nejstarším dochovaným příkladem tohoto přístupu je kniha řeckého matematika Euklida Základy pocházející z 4. století př. n. l.

Široké veřejnosti je známa tzv. elementární matematika, která se zabývá operováním s čísly, řešením praktických úloh, jednoduchých rovnic a popisem základních geometrických objektů. Ve fyzice, informatice, chemii, ekonomii a dalších oborech se často využívají výsledky aplikované matematiky, která je také těmito obory zpětně ovlivňována. Tzv. čistá matematika se zabývá pouze vysoce abstraktními pojmy, jejichž definování není přímo motivováno praktickým užitkem v reálném světě. Některé obory čisté matematiky se nacházejí na pomezí s logikou či filozofií.

Obsah

[skrýt]

[editovat] Charakteristika metod a cílů matematiky

Mezi jinými vědami se matematika vyznačuje nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti. Díky těmto vlastnostem je často označována za královnu věd. Matematických poznatků je dosahováno výhradně použitím logiky, která reprezentuje základní nezpochybnitelná pravidla lidského rozumu. Tzv. matematický důkaz je nejspolehlivější známý způsob jak ověřovat pravdivost tvrzení. V matematice jsou za pravdivá považována pouze ta tvrzení (nazývané věty), ke kterým je znám matematický důkaz. Nové pojmy jsou vytvářeny jednoznačnými definicemi z pojmů starších.

Pro moderní matematiku 20. a 21. století je typická nejvyšší možná míra přesnosti, zajišťovaná úplnou formalizací. Je-li stanoveno několik základních tvrzení, jež jsou natolik zřejmá, že k ním není potřeba důkaz (tzv. axiomy), je z nich možné zcela nezpochybnitelným způsobem (který teoreticky, nebereme-li ohled na časovou náročnost, je schopen zvládnout i nemyslící stroj, počítač) odvodit další pravdivá tvrzení pomocí formálních důkazů.

Typická práce matematika spočívá v definování nových pojmů, formulování platných vět o nich (případně takových vět, které je dávají do souvislosti s pojmy staršími) a dokazování pravdivosti těchto vět. Matematické práce mají proto často strukturu „definice – věta – důkaz“ s minimem doplňujícího textu či zcela bez něj. Stejně jako v jiných vědních disciplínách se také může objevit formulace neověřené hypotézy (vyzývající k jejímu dokázání či vyvrácení) nebo položení dosud nezodpovězené otázky.

Některé z matematikou vytvářených abstraktních pojmů slouží k vysvětlení či snadnějšímu uchopení pojmů dalších, jiné slouží v jiných vědních oborech jako vhodný nástroj k popisu určitých jevů nebo jako idealizovaný model reálných objektů či systémů, další pak umožňují precizaci a rozvoj mnohých konceptů a myšlenek některých disciplín filozofie. Zákonitosti objevené mezi těmito pojmy lze při vhodné aplikaci zpětně přeformulovat jako pravidla a vlastnosti skutečného světa nebo jako obecně platné teze. To však již není prací matematiky, nýbrž příslušné jiné disciplíny.

Stránka z knihy Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala od arabského matematika Al-Chorezmího, v níž jsou položeny základy algebry
Stránka z knihy Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala od arabského matematika Al-Chorezmího, v níž jsou položeny základy algebry

[editovat] Historie

Podrobnější informace naleznete v článku Dějiny matematiky.

Historie matematiky sahá až do pravěku, kdy vznikly první abstraktní matematické pojmy – přirozená čísla. Velký rozvoj prodělala ve antickém Řecku, kdy výrazných úspěchů dosáhla zejména geometrie. Další etapou prudkého rozvoje matematiky byla renesance, v níž byly ustaveny základy matematické analýzy. Vůbec posledním významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století, kdy vznikla teorie množin a matematická logika. Vznik matematiky byl zapříčiněn především potřebou řešit praktické úlohy, jako například různé obchodní úlohy, vyměřování a dělení pozemků, stavebnictví a měření času.

[editovat] Matematická krása

Většina matematiků posuzuje svoji disciplínu také estetickými měřítky. Některé důkazy jsou všeobecně považovány za „elegantní“, dosažené výsledky pak za „krásné“.

Elegantním bývá nazýván takový důkaz, který postupuje neotřelým novátorským způsobem, v důsledku čehož se zkrátí jeho délka nebo zvýší jeho „průzračnost“ a tím sníží riziko možné chyby v něm. Elegantní je také takový důkaz, který využívá pouze základní dobře známé pojmy, aniž by to mělo vliv na jeho pochopitelnost, či naopak důkaz, který dává do souvislosti některé obtížné pojmy s pojmy jednoduchými a tím je osvětluje, nebo ten, který v sobě propojuje pojmy a metody ze vzdálených disciplín matematiky a vytváří tak nový vhled do problematiky, čímž přispívá k jejímu lepšímu pochopení.

Jedním z nejelegantnějších důkazů v matematice je nekonstruktivní důkaz existence transcendentních čísel, který publikoval v roce 1873 Georg Cantor. V tomto velmi krátkém důkazu je prokázána existence transcendentních čísel, aniž by byl ukázán jediný příklad takového čísla (proto se takové důkazy označují jako nekonstruktivní). Přitom důkaz, že dané konkrétní číslo je transcendentní, je vždy poměrně složitý a do dnešní doby je takových čísel známo jen velmi málo. Neobvyklost Cantorova důkazu dokonce způsobila, že ve své době vytvářel mezi předními matematiky silné pochybnosti, zda je vůbec správný.

Krása některých výsledků (vět, vzorců, …) je dána podobnými kritérii, jako je tomu u důkazů. Tj. za krásný je považován výsledek jednoduše formulovaný se snadno pochopitelným významem, takový, který propojuje různé vzdálené oblasti matematiky, či slouží jako „výchozí bod“, z něhož lze snadným způsobem odvodit mnoho jiných užitečných výsledků.

Podle mnohých nejkrásnějším výsledkem celé matematiky je Eulerova rovnost e + 1 = 0,[1][2] která dokonce podle názoru některých matematiků vytváří standard matematické krásy.[3] Tato identita dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

[editovat] Matematické disciplíny

Strukturovaný seznam všech základních oborů matematiky naleznete v článku Seznam matematických disciplín.

Hlavní klasické disciplíny matematiky se vyvinuly ze čtyř praktických lidských potřeb – potřeby počítat při obchodování, porozumět vztahům mezi číselně vyjádřenými množstvími, vyměřování pozemků a staveb a předpovídání astronomických jevů. Z těchto čtyř potřeb vznikly čtyři klasické matematické disciplíny – po řadě aritmetika, algebra, geometrie a matematická analýza, které se zabývají zhruba řečeno čtyřmi základními oblastmi zájmu matematiky – kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Později se díky snahám zastřešit tyto čtyři disciplíny jednotnou matematickou teorií a dosáhnout co největší přesnosti a nezpochybnitelnosti výsledků rozvinulo několik vzájemně provázaných disciplín nazývaných souhrnně základy matematiky. Tyto disciplíny kromě výše zmíněného umožnily také hlubší propojení matematiky s filozofií či rozvoj teoretické informatiky. Ve 20. století zaznamenaly ohromný rozvoj disciplíny aplikované matematiky, které slouží jako důležité nástroje v nejrůznější oborech lidské činnosti.

[editovat] Kvantita

Studium kvantity je vůbec nejstarší oblastí matematiky. Jeho počátky se objevují již v pravěku, kdy dochází k porozumění pojmu přirozeného čísla. Postupem času následuje vytváření základních aritmetických operací a rozšiřování číselného oboru přes čísla celá, racionální, reálná a komplexní až k různým specializovaným číselným oborům jako jsou hyperkomplexní čísla, kvaterniony, oktoniony, ordinální a kardinální čísla nebo surreálná čísla.

I v teorii přirozených čísel zůstává dosud mnoho snadno formulovatelných otevřených problémů, např. hypotéza prvočíselných dvojic nebo Goldbachova hypotéza. Zřejmě nejslavnější problém celé matematiky, velká Fermatova věta, byl vyřešen v roce 1995 po 350 letech marných pokusů.

1; 2; 3\,\! -2; -1; 0; 1; 2\,\! -2; \frac{2}{3}; 1{,}21\,\! -e; \sqrt{2}; 3; \pi\,\! 2; i; -2+3i; 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Přirozená čísla Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Komplexní čísla

[editovat] Struktura

Mnoho matematických objektů jako množiny čísel či funkcí vykazují jistou vnitřní strukturu. Abstrahováním některých z těchto strukturálních vlastností vznikly pojmy grupa, okruh, těleso a další. Studiem těchto abstraktních konceptů se zabývá algebra. Její důležitou součástí je lineární algebra, která se zabývá studiem tzv. vektorových prostorů, jež v sobě kombinují tři ze čtyř okruhů zájmu matematiky – kvantitu, strukturu a prostor. Vektorový kalkulus přidává k těmto třem okruhům i čtvrtý – změnu.

Teorie čísel Algebra Teorie grup Teorie uspořádání

[editovat] Prostor

Studium prostoru začíná v matematice již ve starověku geometrií – konkrétně euklidovskou. Trigonometrie přibírá do hry fenomén kvantity. Základním tvrzením této kvantitativní geometrie je Pythagorova věta. V pozdějších dobách dochází k zobecňování směrem k vícedimenzionálním prostorům, neeuklidovským geometriím a topologii. Uvažováním v kvantitativních sférách se dostáváme k analytické, diferenciální a algebraické geometrii. Diferenciální geometrie se zabývá studiem hladkých křivek a ploch v prostoru, algebraická pak geometrickou reprezentací množin kořenů polynomů více proměnných. Topologické grupy v sobě kombinují fenomény prostoru a struktury, Lieovy grupy přidávají navíc ještě změnu.

Geometrie Trigonometrie Diferenciální geometrie Topologie Fraktální geometrie

[editovat] Změna

Pochopení a popis změny je základní snahou přírodních věd. Mocným nástrojem k uchopení fenoménu změny je kalkulus matematické analýzy, který využívá konceptu funkce. Studiem funkcí na oboru reálných čísel se zabývá reálná analýza, obdobnou disciplínou pro komplexní případ je komplexní analýza. Její součástí je pravděpodobně nejslavnější i nejtěžší nevyřešený problém současné matematiky – Riemannova hypotéza. Funkcionální analýza se zabývá studiem přirozeně vznikajících prostorů funkcí, jednou z mnoha aplikací tohoto oboru je kvantová mechanika. Pomocí diferenciálních rovnic je možné studovat problematiku změn kvantitativních veličin. Vysoce složité přírodní systémy slouží jako inspirace pro studium dynamických systémů a teorie chaosu.

Matematická analýza Vektorový počet Diferenciální rovnice Dynamické systémy Teorie chaosu

[editovat] Základy matematiky a filozofie

Ve snaze objasnit a zpřesnit základní kameny matematiky byly na konci 19. století položeny základy disciplínám teorie množin a matematické logiky, jež bývají souhrnně označovány jako základy matematiky. Na pomezí základů matematiky a abstraktní algebry leží teorie kategorií.

Matematická logika poskytuje pevný axiomatický rámec celé matematice a svojí maximální přesností zaštiťuje nezpochybnitelnost všech matematických výsledků. Teorie důkazu precizuje a matematizuje základní principy rozumového odvozování a nutného vyplývání. Teorie modelů studuje logické koncepty pomocí algebraických metod. Formální studium aritmetických teorií jako jsou Robinsonova či Peanova aritmetika má velký význam i pro filozofické otázky týkající se hranic deduktivní metody. Odpovědí na většinu těchto otázek je nejslavnější výsledek celé logikyGödelovy věty o neúplnosti. Teorie rekurze má velký význam pro teoretické základy informatiky.

Teorie množin je často označována jako „svět matematiky“. Každá jiná matematická disciplína může být považována za součást teorie množin. Kromě toho má teorie množin vlastní obor studia zaměřený z větší části na pochopení a popis fenoménu nekonečna v jeho aktuální podobě. Slavným problémem teorie množin byla hypotéza kontinua, filozofické dopady má otázka axiomu výběru.

 P \Rightarrow Q \,
Matematická logika Teorie množin Teorie kategorií

[editovat] Diskrétní matematika

Jako diskrétní matematika se označují oblasti matematiky, které se zabývají studiem konečných diskrétních systémů. Její podobory mají obvykle velký praktický význam v informatice a programování. Patří sem disciplíny jako teorie složitosti, teorie informace nebo studium teoretických modelů počítačů, jakým je Turingův stroj. Teorie výpočetní složitosti se zabývá časovou náročností algoritmů zpracovávaných v počítačích, teorie informace možnostmi efektivního skladování informací na záznamových médiích – studuje pojmy komprese dat, entropie apod. Nejslavnějším problémem těchto disciplín je „problém P = NP“. Dalšími součástmi diskrétní matematiky jsou kombinatorika, teorie grafů nebo kryptografie.

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}
Kombinatorika Teorie výpočtů Kryptografie Teorie grafů

[editovat] Aplikovaná matematika

Aplikovaná matematika používá abstraktní matematické nástroje k řešení praktických problémů z jiných oblastí vědy, obchodu apod. Statistika používá teorii pravděpodobnosti k popisu, analýze a předpovídání jevů, v nichž hraje důležitou roli náhoda. Numerická matematika vytváří a teoreticky zaštiťuje počítačové výpočetní metody pro řešení širokého spektra úloh příliš náročných pro člověka. Využívá jí počítačové modelování s mnoha aplikacemi při popisu a předpovědi fyzikálních, meteorologických, sociologických, chemických a jiných jevů. Ve světě obchodu a bankovnictví hraje důležitou roli finanční matematika. K popisu ekonomických fenoménů slouží často jazyk a výsledky teorie her.

Matematická fyzika Matematické modelování tekutin Numerická matematika Optimalizace Teorie pravděpodobnosti Statistika Finanční matematika Teorie her